محاسبه آنالیز واریانس دو عاملی

آخرین به‌روزرسانی: 24 دی 1401

در فصل سیزدهم مقاله آموزشی آمار به زبان ساده به اثر متقابل عوامل در آناليز واريانس پرداختیم. در این فصل به آموزش محاسبه آنالیز واریانس دو عاملی در ادامه سری مقالات آموزشی آمار به زبان ساده می پردازیم.

زمانی که می خواهیم آنالیز واریانس دو عاملی را انجام دهیم، دو مسئله مهم و قابل توجه وجود دارد. ابتدا طرح بندی درست داده ها و دوم جملات خطا برای محاسبه نسبت واریانس ها باید به درستی انتخاب شوند. در این فصل به سه روش متفاوت آنالیز واریانس دو عاملی پرداخته شده است: آنالیز واریانس با دو عامل اندازه گیری شده مستقل، که هر دو عامل A و B مقادیری مستقل هستند؛ طرح آنالیز واریانس دو عاملی مختلط که عامل A اندازه گیری های مستقل و عامل B، عاملی با اندازه گیری های مکرر است و در نهایت آنالیز واریانس دو عاملی با اندازه گیری های مکرر که هر دو عامل A و B عواملی با اندازه گیری های مکرر هستند.

آنالیز واریانس با دو عامل مستقل

ساده ترین آنالیز واریانس دو عاملی مربوط به محاسبه کردن زمانی است که هر دو عامل اندازه گیری هایی مستقل هستند. در اینجا واریانس شرطی بین گروهی لاجرم به چند بخش جداگانه تقسیم می شود، بخش ایجاد شده از عامل A، عامل B و در نهایت اثر متقابل A × B که همه ی عوامل یک آنالیز واریانس دو عاملی را تشکیل می دهند. از آنجاییکه در محاسبه ی همه ی مجموع مربعات فقط تفاوت های جزئی وجود دارد، می توان واریانس شرطی درون گروهی را به عنوان جمله خطا برای هر سه نسبت واریانس به کار برد. این کار نسبتا محاسبات را آسان می کند. بنابراین جدول آنالیز واریانس را  که در ادامه آمده محاسبه کنید.

جدول آنالیز واریانس

جدول نتایج

سازماندهی جدول نتایج برای همه ی انواع آنالیز واریانس ها ضروری است اما اینکه کدام عامل را به عنوان سطر و کدام را به عنوان ستون در نظر بگیریم یک مسئله قطعی نیست، بنابراین در مورد آنالیز واریانس با دو عامل مستقل می توان انواع مختلفی از آنالیز واریانس دو عاملی را با توجه به متفاوت بودن عامل ها تعریف کرد. اما در حالت کلی به دست آوردن مجموع های مختلفی(در اینجا منظور همان جمع بستن است) با توجه به شرایط و ترکیبات شرطی صحیحی که تعریف می کنیم امری مهم است. مفروضاتی که در ادامه صفحه آمده مثال مناسبی برای نشان دادن چگونگی نظم و ترتیب دادن (به عوامل) می باشد.

در نهایت مقادیر F بدست  آمده با مقادیر موجود در جدول در سطح معنی داری مورد نظر مقایسه می شوند. (جدول A.3 موجود در ضمیمه)

(محاسبات ذکر شده با این فرض صورت گرفت که تعداد نمرات در هر سطح از سطوح AB برابر هستند. اما ممکن است آنالیزی انجام دهیم که در آن تعداد نمرات در هر سطح برابر نباشد. همچنین می توان آنالیز واریانسی را تنها با یک عامل مستقل انجام داد که البته هدف این کتاب نیست.)

مثال کاربردی

یک شرکت بزرگ تمایل به دانستن چگونگی معرفی نوع جدیدی دستگاه به کارخانه را دارد. آیا باید برای  به کارگیری این دستگاه باید از کارکنانی که روی دستگاه های قدیمی کار کرده اند استفاده کرد یا کارکنان جدیدی که تا حالا روی هیچ دستگاهی کار نکرده اند را استخدام کرد؟ محققی 12 کارمند که تجربه ی کار با دستگاه  قدیمی را داشتند و 12 کارمند که اصلا چنین تجربه ای را نداشتند انتخاب کرد. نصف شرکت کنندگان در  هر گروه  به کار با دستگاه جدید اختصاص داده شد و نیمی دیگر به دستگاه قدیمی.  تعداد خطاهای موجود ایجاد شده توسط شرکت کنندگان دریک بازه ی زمانی اندازه گیری شد. نتایج در جدول زیر نشان داده شده اند:

آیا دو عامل تجربه روی دستگاه قدیمی و نوع دستگاه روی متغیر وابسته تعداد خطا اثر گذار است؟

هر دو عامل مستقلا اندازه  گیری شده اند چون هر شرکت کننده فقط در یکی از سطوح “تجربه” یا “دستگاه” شرکت می کنند. ما برچسب “تجربه بر روی دستگاه قدیمی” را به عنوان عامل A، با دو سطح (a = 2)، ” تازه کار” ( )  و با مجرب ( )،  و”نوع دستگاه” را به عنوان عامل B در نظر می گیریم که عامل دوم هم دارای دو سطح است، (b = 2)، “دستگاه قدیمی” ( )  و “دستگاه جدید” ( )  . برای عامل اثر متقابل یعنی AB چهار سطح وجود دارد که در هر کدام 6 شرکت کننده وجود دارد(n=6)، که در مجموع تعداد بیست و چهار شرکت کننده (N=24) وجود خواهد داشت.

با توجه به جدول توزیع F (در  ضمیمه A.3 )، F(1,20)=4.35 در p=0.05  و F(1,20)=8.10  در p=0.01. بنابراین می توان نتیجه گرفت که عامل تجربه روی دستگاه قدیمی در سطح معنی داری p=0.05 معنی دار نیست.( F(1,20)=1.67)، اما اثر عامل نوع دستگاه (F(1,20)=53.52) و اثر متقابل دو عامل (F(1,20)=66.84) هر دو با میزان اطمینان بالایی معنی دار هستند.( p<0.01)

اثر متقابل را با محاسبه مقادیر میانگین نیز می توان آزمون کرد. جدول میانگین ها در زیر نشان داده شده است:

این مقادیر در نمودار 15.1  رسم شده اند. نکته ی قابل توجه اولیه این است که خطوط موازی نیستند و با توجه  با این امر ما می توانیم شهود بیشتری از وجود اثر متقابل داشته باشیم. توجه داشته باشید که کارکنان با تجربه کمترین  خطا را ضمن کار با دستگاه های  قدیمی داشته اند  و این چیز عجیبی نیست. اما در هر حال بیشترین خطا در رابطه  با دستگاه جدید است. در این مورد به نظر می رسد نوعی از انتقال منفی و نامناسب ایجاد شده است چون افرادی که از قبل مهارتی داشته اند به جای اینکه کمکی برای آنها باشد، آنها را دچار خطا می کند. مثالی از این مسئله زمانی اتفاق می افتد که میهمانی که به بریتانیا سفر می کند و تجربه ی رانندگی با ماشینی که فرمان آن سمت چپ است را دارد زمان رانندگی با ماشینی با فرمان سمت راست مثلا هنگام کار با دنده ممکن است دچار اشتباه شود. کارکنان تازه کار به نظر می رسد هنگام کار با هر دو ماشین دقت یکسانی داشته باشند.

شکل 15.1   اثر متقابل تجربه و نوع دستگاه بر روی تعداد خطا

در این مورد اثر متقابل کاملا واضح است. برای تفهیم بهتر ، اثرات اصلی محاسبه خواهند شد که شامل اثر نوع نوع دستگاه روی دو سطح تجربه کار با دستگاه است. در طرح آنالیز واریانس با دو عامل مستقل برای محاسبه همه اثرات اصلی بار دیگر از جمله خطا که در جدول آنالیز واریانس به صورت زیر دیدیم استفاده می شود.

از جدول توزیع F می دانیم که  F(1,20)=4.35 در p=0.05 ، بنابراین با توجه به این که مقدار F محاسبه شده کمتر از این مقدار است می توان نتیجه گرفت که اثر نوع دستگاه بر کارکنان تازه کار معنی دار نیست.

اثر ساده اصلی نوع دستگاه بر کارکنان با تجربه یعنی اثر عامل B بر سطح دوم عامل A یعنی   :

از جدول توزیع F می دانیم که و F(1,20)=8.10  در p=0.01، بنابراین با توجه به اینکه که مقدار F محاسبه شده بزرگتر از این مقدار است می توان نتیجه گرفت که اثر نوع دستگاه بر کارکنان با تجربه به میزان بالایی معنی دار است.

معمولا اثرات ساده اصلی دلیل اثر متقابل را شرح می دهند اما همچنین چنانچه مایل باشیم می توان آزمونهای زوجی پست هاک مانند توکی یا شفه را انجام داد.

نیاز است مقایسات مناسب و جمله خطا به دقت انتخاب شود اگرچه این مسئله خصوصاً زمانی که طرحی با اندازه گیری های مستقل داریم آسان است زیرا فقط یک مقدار به عنوان جمله خطا به کار گرفته می شود.

مترجمین: دکتر هدی کامرانی فر – حسن اسکندری نیا